Tadi pagi di Universitas Jember, penulis diminta untuk menjadi pembicara utama dalam Seminar Nasional dengan tema "PERAN MATEMATIKA DALAM MEMBANGUN INDONESIA DI BIDANG SAINS,TEKNOLOGI, DAN INDUSTRI".
Menurut hemat penulis, peserta dari seminar ini memang bisa dikatakan menasional. Peserta berasal dari Sumatera, Jawa, Sulawesi, Bali, dll. Ada yang dosen, guru, dan mahasiswa program Pasca Sarjana.
Di dalam kesempatan ini, penulis mencoba menguraikan syarat-syarat agar pembelajaran matematika bisa berperan untuk kemajuan Sains, Teknologi, dan Industri. Penulis menyatakan bahwa pendidikan matematika harus menciptakan siswa atau mahasiswa yang: (a) mahir matematika, (b) memiliki kemampuan berpikir tingkat tinggi, (c) memiliki kecerdasan interpersonal dan intrapersonal, serta (d) menguasai ICT.
Di dalam paparan tersebut penulis menguraikan pula beberapa isyu pembelajaran matematika kita yang masih belum memungkinkan untuk berperan dalam kemajuan sains teknologi dan industri. Di antaranya penulis menyatakan bahwa pembelajaran kita belum diarahkan untuk menjadikan siswa atau mahasiswa mahir matematika. Pembelajaran lebih banyak diarahkan untuk sekedar lulus ujian negara. Pembelajaran pula tidak mengembangkan kemampuan berpikir tingkat tinggi, kurang mendorong dimilikinya penguasaan lintas disiplin ilmu, dan lain-lain.
Kalau di antara teman-teman ada yang ingin mengetahui apa yang saya sajikan, berikut saya sajikan power point dan makalah yang saya buat. Silahkan di unduh. Kalau teman-teman perhatikan, maka tulisan tersebut cukup sederhana saja. Namun demikian, penulis tetap berharap semoga tulisan ini bisa menginspirasi upaya peningkatan kualitas pendidikan matematika Indonesia. Semoga.
Salam
MAHKOTA DEWA
Inilah gambar dari Mahkota Dewa... Tanaman ini dipercaya banyak menyembuhkan penyakit... Nach... Apakah ada di antara teman-teman yang memilik data tentang pertumbuhannya? Adakah model matematika yang bisa kita kembangkan dari data-data itu? ... Kalau pun tidak... apakah mungkin kita bisa belajar matematika daripadanya?
Sabtu, 28 Februari 2009
Kamis, 26 Februari 2009
HIMPUNAN KOSONG: TUNGGAL ATAU JAMAK?
Misalkan kita punya tiga himpunan, yaitu:
Himpunan A adalah himpunan bilangan real yang kuadratnya negatif.
Himpunan B adalah himpunan bilangan bulat dimana hasil kali dua bilangan berurutannya tidak habis dibagi oleh 2.
Himpunan C adalah himpunan bilangan asli lebih dari 3 yang kuadratnya kurang dari 10.
Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif. Tidak ada hasil kali dua bilangan bulat berurutan yang tidak habis dibagi 2. Tidak ada pula bilangan asli lebih dari 3 yang kuadratnya kurang dari 10. Karena itu, semua himpunan itu adalah himpunan kosong.
Lho... sebenarnya ada berapa sich banyaknya himpunan kosong tersebut?
Pernah ada kejadian dimana mahasiswa, pasca sarjana lagi, gagal membuktikan bahwa himpunan kosong itu tunggal. Meskipun sudah diberi petunjuk macam-macam, dia tidak mampu membuktikannya.
Ada banyak alasan yang dapat dikemukakan. Menurut penulis, sedikitnya ada dua alasan. Pertama, mungkin dia tidak terbiasa dengan kegiatan membuktikan. Kedua, mungkin dia sudah grogi dan menjadi tidak percaya diri dengan kemampuannya.
Tidak terbiasanya seseorang melakukan kegiatan membuktikan, akan menyulitkan yang bersangkutan ketika diminta membuktikan. Ketika grogi dan tidak percaya diri hinggap di dalam diri seorang pebelajar, kemampuan yang dimilikinya turun drastis, mungkin sampai 50 persen. Karena itu, wajar kalau dia tidak bisa membuktikan.
Tetapi apakah semua perlu belajar membuktikan. Menurut hemat penulis, kita harus lihat-lihat siapa pebelajarnya. Anak yang gifted dan talented cenderung membutuhkan kegiatan membuktikan ini. Perlu diingat, anak yang demikian ini jumlahnya tidak terlalu banyak. Yang lain mungkin kurang begitu membutuhkan. Karena itu, kita harus pandai-pandai kapan kita memberikan kesempatan kepada anak untuk belajar membuktikan dan kapan tidak. Minimal kita harus pandai-pandai menerapkan differentiated instruction. Kita bedakan isi dan cara belajar anak.
Nach... saya sempat menuliskan singkat tentang bukti dari ketunggalan himpunan kosong. Saya sediakan tulisan itu untuk diunduh oleh teman sekalian di sini dan saya persilahkan pula untuk dikaji. Semoga memberikan manfaat.
Salam
Himpunan A adalah himpunan bilangan real yang kuadratnya negatif.
Himpunan B adalah himpunan bilangan bulat dimana hasil kali dua bilangan berurutannya tidak habis dibagi oleh 2.
Himpunan C adalah himpunan bilangan asli lebih dari 3 yang kuadratnya kurang dari 10.
Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif. Tidak ada hasil kali dua bilangan bulat berurutan yang tidak habis dibagi 2. Tidak ada pula bilangan asli lebih dari 3 yang kuadratnya kurang dari 10. Karena itu, semua himpunan itu adalah himpunan kosong.
Lho... sebenarnya ada berapa sich banyaknya himpunan kosong tersebut?
Pernah ada kejadian dimana mahasiswa, pasca sarjana lagi, gagal membuktikan bahwa himpunan kosong itu tunggal. Meskipun sudah diberi petunjuk macam-macam, dia tidak mampu membuktikannya.
Ada banyak alasan yang dapat dikemukakan. Menurut penulis, sedikitnya ada dua alasan. Pertama, mungkin dia tidak terbiasa dengan kegiatan membuktikan. Kedua, mungkin dia sudah grogi dan menjadi tidak percaya diri dengan kemampuannya.
Tidak terbiasanya seseorang melakukan kegiatan membuktikan, akan menyulitkan yang bersangkutan ketika diminta membuktikan. Ketika grogi dan tidak percaya diri hinggap di dalam diri seorang pebelajar, kemampuan yang dimilikinya turun drastis, mungkin sampai 50 persen. Karena itu, wajar kalau dia tidak bisa membuktikan.
Tetapi apakah semua perlu belajar membuktikan. Menurut hemat penulis, kita harus lihat-lihat siapa pebelajarnya. Anak yang gifted dan talented cenderung membutuhkan kegiatan membuktikan ini. Perlu diingat, anak yang demikian ini jumlahnya tidak terlalu banyak. Yang lain mungkin kurang begitu membutuhkan. Karena itu, kita harus pandai-pandai kapan kita memberikan kesempatan kepada anak untuk belajar membuktikan dan kapan tidak. Minimal kita harus pandai-pandai menerapkan differentiated instruction. Kita bedakan isi dan cara belajar anak.
Nach... saya sempat menuliskan singkat tentang bukti dari ketunggalan himpunan kosong. Saya sediakan tulisan itu untuk diunduh oleh teman sekalian di sini dan saya persilahkan pula untuk dikaji. Semoga memberikan manfaat.
Salam
STRATEGI PEMECAHAN MASALAH
Salah satu syarat agar kita mahir matematika adalah dimilikinya berbagai macam strategi pemecahan masalah. Kepemilikan berbagai macam strategi ini bisa membantu siswa untuk memulai menangani masalah. Meskipun mungkin tidak bisa langsung memecahkan masalahnya, dengan menerapkan salah satu strategi terlebih dahulu, ada peluang masalah tersebut akan lebih mudah dikenali dan dapat digunakan strategi lain atau kombinasi dari berbagai strategi yang mampu memecahkannya. Karena itu, siswa perlu dikenalkan dengan berbagai macam strategi pemecahan masalah.
Ada banyak sekali strategi pemecahan masalah yang perlu dikenal oleh siswa. Masalah yang sifatnya membuktikan berbeda strategi pemecahannya dengan masalah yang sifatnya membutuhkan perhitungan. Untuk itu, kita memang harus rajin-rajin mencari sumber, dan buku-buku untuk strategi pemecahan masalah ini sebenarnya cukup banyak tersedia di internet. Dibutuhkan ketekunan untuk mencari dan selanjutnya dibutuhkan kemauan membaca dan memahaminya. Tetapi, asal ada kemauan, pasti ada jalan.
Oh ya...
Kalau tidak salah... salah satu X dalam pembelajaran di SBI (terutama jenjang SMP) adalah strategi pemecahan masalah.... karena itu, teman-teman guru di SBI perlu memiliki bahan untuk membelajarkan strategi pemecahan masalah ini.
Nach... penulis mempunyai power point yang didapatkan dari internet. Dengan senang hati penulis berkenan untuk berbagi dengan teman-teman sekalian. Di samping penulis gunakan dalam perkuliahan, terutama untuk masalah-masalah yang tidak terlalu sulit, power point ini juga penulis gunakan untuk workshop dengan guru-guru jenjang sekolah dasar dan SMP. Teman-teman tertarik untuk mengetahui dan memilikinya?
Kalau ya, power point itu saya persilahkan untuk diunduh di sini. Semoga bermanfaat.
Salam
Ada banyak sekali strategi pemecahan masalah yang perlu dikenal oleh siswa. Masalah yang sifatnya membuktikan berbeda strategi pemecahannya dengan masalah yang sifatnya membutuhkan perhitungan. Untuk itu, kita memang harus rajin-rajin mencari sumber, dan buku-buku untuk strategi pemecahan masalah ini sebenarnya cukup banyak tersedia di internet. Dibutuhkan ketekunan untuk mencari dan selanjutnya dibutuhkan kemauan membaca dan memahaminya. Tetapi, asal ada kemauan, pasti ada jalan.
Oh ya...
Kalau tidak salah... salah satu X dalam pembelajaran di SBI (terutama jenjang SMP) adalah strategi pemecahan masalah.... karena itu, teman-teman guru di SBI perlu memiliki bahan untuk membelajarkan strategi pemecahan masalah ini.
Nach... penulis mempunyai power point yang didapatkan dari internet. Dengan senang hati penulis berkenan untuk berbagi dengan teman-teman sekalian. Di samping penulis gunakan dalam perkuliahan, terutama untuk masalah-masalah yang tidak terlalu sulit, power point ini juga penulis gunakan untuk workshop dengan guru-guru jenjang sekolah dasar dan SMP. Teman-teman tertarik untuk mengetahui dan memilikinya?
Kalau ya, power point itu saya persilahkan untuk diunduh di sini. Semoga bermanfaat.
Salam
Rabu, 25 Februari 2009
BUKU CLASSROOM LANGUAGE UNTUK GURU-GURU RSBI
Teman-teman guru, terutama yang di RSBI, pastilah merasakan betapa lemahnya bahasa Inggris yang dulu kita pelajari sejak SMP sampai sarjana. Tidak heran kalau teman-teman seringkali mengalami kesulitan untuk mengajarkan matematika dalam bahasa Inggris. Di samping penguasaan istilah teknis matematis, penguasaan classroom language yang digunakan untuk berkomunikasi sehari-hari di dalam kelas pun sangat perlu. Kalau tidak, maka yang diucapkan dari hari ke hari sama saja.
Nach...
Saya sempat mengunduh suatu buku tentang classroom language. Teman-teman bisa mempelajarinya dengan seksama. Mudah-mudahan dengan begitu, bahasa komunikasi yang kita lakukan di dalam kelas bisa lebih bervariasi dan tidak membosankan.
Ada yang tertarik untuk melihatnya?
Kalau ya, silahkan unduh di sini. Buku ini cukup lengkap, dan oleh karenanya saya mohon maaf kalau ukuran filenya agak besar. Ini bisa mengakibatkan teman-teman memerlukan waktu yang sedikit agak lama untuk mengunduhnya. Tetapi mudah-mudahan itu semua seimbang dengan manfaatnya. Rasa-rasanya kita perlu punya itu kok. Siapa tahu, setelah sekian tahun tidak ada pilihan lain selain mengajarkan matematika dalam bahasa Inggris. Wallahu a'lam.
Meskipun sudah memiliki buku ini, teman-teman masih tetap perlu dampingan dari orang yang tahu matematika dan bahasa Inggrisnya sekaligus. Tahu bahasa Inggrisnya saja, tidak akan mungkin mampu membelajarkan substansinya. Tahu matematikanya saja, tentu tidak akan bisa mengajarkan dalam bahasa Inggris. Teman-teman guru di RSBI harus terus berlatih berkomunikasi matematis dalam bahasa Inggris.
Prinsip belajar bahasa, apapun itu, cuma satu: PRAKTIKKAN. Semakin sering kita berlatih mempraktikkan dan ada feedback yang tepat, semakin lancar kita berbahasanya. Yang penting, jangan takut salah. Bahasa Inggris kan bukan bahasa kita sendiri. Bukankah jarang sekali kita mendapat nilai 10 dalam raport bahasa Indonesia. Padahal bahasa Indonesia adalah bahasa Ibu.
Selamat mengunduh dan mempelajari. Semoga bermanfaat.
Salam
Nach...
Saya sempat mengunduh suatu buku tentang classroom language. Teman-teman bisa mempelajarinya dengan seksama. Mudah-mudahan dengan begitu, bahasa komunikasi yang kita lakukan di dalam kelas bisa lebih bervariasi dan tidak membosankan.
Ada yang tertarik untuk melihatnya?
Kalau ya, silahkan unduh di sini. Buku ini cukup lengkap, dan oleh karenanya saya mohon maaf kalau ukuran filenya agak besar. Ini bisa mengakibatkan teman-teman memerlukan waktu yang sedikit agak lama untuk mengunduhnya. Tetapi mudah-mudahan itu semua seimbang dengan manfaatnya. Rasa-rasanya kita perlu punya itu kok. Siapa tahu, setelah sekian tahun tidak ada pilihan lain selain mengajarkan matematika dalam bahasa Inggris. Wallahu a'lam.
Meskipun sudah memiliki buku ini, teman-teman masih tetap perlu dampingan dari orang yang tahu matematika dan bahasa Inggrisnya sekaligus. Tahu bahasa Inggrisnya saja, tidak akan mungkin mampu membelajarkan substansinya. Tahu matematikanya saja, tentu tidak akan bisa mengajarkan dalam bahasa Inggris. Teman-teman guru di RSBI harus terus berlatih berkomunikasi matematis dalam bahasa Inggris.
Prinsip belajar bahasa, apapun itu, cuma satu: PRAKTIKKAN. Semakin sering kita berlatih mempraktikkan dan ada feedback yang tepat, semakin lancar kita berbahasanya. Yang penting, jangan takut salah. Bahasa Inggris kan bukan bahasa kita sendiri. Bukankah jarang sekali kita mendapat nilai 10 dalam raport bahasa Indonesia. Padahal bahasa Indonesia adalah bahasa Ibu.
Selamat mengunduh dan mempelajari. Semoga bermanfaat.
Salam
Selasa, 24 Februari 2009
ALGEBRA TILE
Operasi bilangan, terutama yang menyangkut bilangan negatif, kadang masih merepotkan bagi anak-anak. Sampai jenjang SMP pun kadang-kadang mereka masih tidak mahir. Guru pun kadang bingung bagaimana mengajarkan supaya anak paham dengan baik.
Menurut hemat penulis, salah satu cara yang lumayan baik untuk membelajarkan tentang operasi bilangan bulat adalah dengan menggunakan Algebra Tile dan beberapa derivasinya.
Beberapa waktu yang lalu penulis sempat mengelana di dunia maya dan menemukan sebuah power point tentang Algebra Tile. Power point yang dikembangkan oleh David McReynolds (dari AIMS PreK-16 Project) dan Noel Villarreal (dari South Texas Rural Systemic Initiative) ini terdiri dari 56 halaman dan merupakan power point yang cukup lengkap. Bukan hanya berisi penjelasan tentang operasi bilangan, power point ini memuat juga cara-cara membelajarkan tentang operasi polinom, mulai dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, bahkan pembagian. Sungguh lengkap.
Saya ingin teman-teman sekalian, terutama para guru, bisa mengenali, mereviu, dan kalau memang cocok menggunakan power point ini di kelas masing-masing. Bahkan, saya juga mendorong teman-teman yang menyukai ICT untuk mengembangkannya lebih lanjut. Karena itu, saya sharekan power point tersebut dan saya persilahkan teman-teman sekalian mengunduh file itu di sini.
Namun demikian, saya juga ingin mendorong teman-teman untuk tidak sekedar pasif menerima. Mari kita pikirkan penggunaan power point ini dengan seksama. Sampai berapa lama kita harus menggunakan power point ini? Mana yang lebih baik dibandingkan dengan menggunakan "look for the pattern" saja? Apakah perlu keduanya dikombinasikan? dll. Masih banyak pertanyaan penelitian yang bisa kita ajukan.
Mari kita lakukan penelitian tindakan kelas. Semoga dengan begitu, kita akan memperoleh ilmu yang lebih baik dalam membelajarkan. Semoga bermanfaat.
Salam
Menurut hemat penulis, salah satu cara yang lumayan baik untuk membelajarkan tentang operasi bilangan bulat adalah dengan menggunakan Algebra Tile dan beberapa derivasinya.
Beberapa waktu yang lalu penulis sempat mengelana di dunia maya dan menemukan sebuah power point tentang Algebra Tile. Power point yang dikembangkan oleh David McReynolds (dari AIMS PreK-16 Project) dan Noel Villarreal (dari South Texas Rural Systemic Initiative) ini terdiri dari 56 halaman dan merupakan power point yang cukup lengkap. Bukan hanya berisi penjelasan tentang operasi bilangan, power point ini memuat juga cara-cara membelajarkan tentang operasi polinom, mulai dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, bahkan pembagian. Sungguh lengkap.
Saya ingin teman-teman sekalian, terutama para guru, bisa mengenali, mereviu, dan kalau memang cocok menggunakan power point ini di kelas masing-masing. Bahkan, saya juga mendorong teman-teman yang menyukai ICT untuk mengembangkannya lebih lanjut. Karena itu, saya sharekan power point tersebut dan saya persilahkan teman-teman sekalian mengunduh file itu di sini.
Namun demikian, saya juga ingin mendorong teman-teman untuk tidak sekedar pasif menerima. Mari kita pikirkan penggunaan power point ini dengan seksama. Sampai berapa lama kita harus menggunakan power point ini? Mana yang lebih baik dibandingkan dengan menggunakan "look for the pattern" saja? Apakah perlu keduanya dikombinasikan? dll. Masih banyak pertanyaan penelitian yang bisa kita ajukan.
Mari kita lakukan penelitian tindakan kelas. Semoga dengan begitu, kita akan memperoleh ilmu yang lebih baik dalam membelajarkan. Semoga bermanfaat.
Salam
Senin, 23 Februari 2009
JAWABAN SOAL NO 2 HARI 2 OSN SMP NAS 2008
Teman-teman sekalian,
Seringkali kita mempersepsi bahwa soal OSN itu adalah soal pembuktian. Meskipun tidak selalu benar, persepsi semacam itu memang tidak bisa disalahkan. Banyak soal-soal yang dikeluarkan dalam OSN yang berbentuk seperti itu.
Nach
Pada tahun 2008 yang lalu, ada satu soal yang agak berbeda. Soalnya menuntut anak melakukan eksplorasi. Anak diminta untuk melakukan salah satu strategi pemecahan masalah, yaitu: Guess and Check Strategy. Anak diminta untuk menebak salah satu jawaban dan kemudian memeriksa apakah jawaban itu masuk akal atau tidak.
Soal nomer 2 hari ke-2 OSN tingkat nasional tahun 2008 kemarin adalah sebagai berikut:
Seorang pemilik toko menginginkan bisa menimbang berbagai macam berat benda (dalam bilangan asli) hanya dengan 4 anak timbangan yang berbeda. (Sebagai contoh, jika dia memiliki anak timbangan 1, 2, 5 dan 10, dia bisa menimbang berat 1 kg, 2 kg, 3 kg (1 + 2), 4 kg (5 -1), 5 kg, 6 kg,7 kg, 8 kg, 9 kg (10 - 1), 10 kg, 11 kg, 12 kg, 13 kg (10 + 1 + 2), 14 kg (10 + 5 -1), 15 kg, 16 kg, 17 kg,dan 18 kg). Kalau dia ingin bisa menimbang semua berat dari 1 kg sampai dengan 40 kg, tentukan empat anak timbangan yang harus dimilikinya. Berikan penjelasan bahwa jawaban kalian benar!
Mungkin ada baiknya teman-teman mencoba menemukan jawabnya terlebih dahulu. Mudah-mudahan dengan mengerjakannya terlebih dahulu, teman-teman akan memiliki sense tertentu yang bermanfaat untuk membelajarkan anak-anak.
Namun demikian, kalau teman-teman memang sudah tidak sabar untuk melihat komposisi yang dimaksudkan, saya mempersilahkan teman-teman sekalian mengunduh jawaban dari soal itu di sini. Semoga bermanfaat.
Salam
Seringkali kita mempersepsi bahwa soal OSN itu adalah soal pembuktian. Meskipun tidak selalu benar, persepsi semacam itu memang tidak bisa disalahkan. Banyak soal-soal yang dikeluarkan dalam OSN yang berbentuk seperti itu.
Nach
Pada tahun 2008 yang lalu, ada satu soal yang agak berbeda. Soalnya menuntut anak melakukan eksplorasi. Anak diminta untuk melakukan salah satu strategi pemecahan masalah, yaitu: Guess and Check Strategy. Anak diminta untuk menebak salah satu jawaban dan kemudian memeriksa apakah jawaban itu masuk akal atau tidak.
Soal nomer 2 hari ke-2 OSN tingkat nasional tahun 2008 kemarin adalah sebagai berikut:
Seorang pemilik toko menginginkan bisa menimbang berbagai macam berat benda (dalam bilangan asli) hanya dengan 4 anak timbangan yang berbeda. (Sebagai contoh, jika dia memiliki anak timbangan 1, 2, 5 dan 10, dia bisa menimbang berat 1 kg, 2 kg, 3 kg (1 + 2), 4 kg (5 -1), 5 kg, 6 kg,7 kg, 8 kg, 9 kg (10 - 1), 10 kg, 11 kg, 12 kg, 13 kg (10 + 1 + 2), 14 kg (10 + 5 -1), 15 kg, 16 kg, 17 kg,dan 18 kg). Kalau dia ingin bisa menimbang semua berat dari 1 kg sampai dengan 40 kg, tentukan empat anak timbangan yang harus dimilikinya. Berikan penjelasan bahwa jawaban kalian benar!
Mungkin ada baiknya teman-teman mencoba menemukan jawabnya terlebih dahulu. Mudah-mudahan dengan mengerjakannya terlebih dahulu, teman-teman akan memiliki sense tertentu yang bermanfaat untuk membelajarkan anak-anak.
Namun demikian, kalau teman-teman memang sudah tidak sabar untuk melihat komposisi yang dimaksudkan, saya mempersilahkan teman-teman sekalian mengunduh jawaban dari soal itu di sini. Semoga bermanfaat.
Salam
Minggu, 22 Februari 2009
JUMLAH BARISAN TAK HINGGA
Ketika kita ditanya berapakah nilai dari S = 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... yaitu jumlah tak terhingga barisan geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 1/2, pada umumnya kita dengan mudahnya menjawab bahwa nilai S = 2. Kita menggunakan rumus S = a / (1 - r). Tetapi, apakah benar demikian?
Untuk membahas masalah ini, penulis memberikan beberapa ilustrasi tentang jumlah barisan tak hingga yang tidak masuk akal. Pertama, penulis ajukan contoh bahwa jumlah tak terhingga dari barisan aritmetik 1 + 1 + 1 + 1 + 1.....adalah -1. Kemudian, penulis juga menunjukkan bahwa 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + .... sama dengan -3. Penulis juga menunjukkan contoh jumlah tak terhingga dari barisan geometri. Penulis tunjukkan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... sama dengan -1.
Contoh-ocntoh tersebut merupakan contoh betapa kita harus hati-hati dalam menentukan jumlah tak terhingga dari barisan, baik barisan aritmetik, maupun barisan geometri. Kita harus mengetahui bahwa yang fixed nilanya adalah limit jumlahnya, bukan jumlahnya itu sendiri. Itupun hanya untuk barisan-barisan tertentu, salah satu di antaranya adalah barisan yang bounded.
Penulis sempat menuliskan secara singkat tentang jumlah tak terhingga barisan ini. Tentu tidak sempurna, dan oleh karena itu penulis mengundang teman-teman untuk memberikan komentar, kritik, saran, atau apapun. Untuk itu, penulis mempersilahkan teman-teman mengunduhnya di sini, dan tolong dikaji serta berikan komentar. Semoga bermanfaat.
Salam
Untuk membahas masalah ini, penulis memberikan beberapa ilustrasi tentang jumlah barisan tak hingga yang tidak masuk akal. Pertama, penulis ajukan contoh bahwa jumlah tak terhingga dari barisan aritmetik 1 + 1 + 1 + 1 + 1.....adalah -1. Kemudian, penulis juga menunjukkan bahwa 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + .... sama dengan -3. Penulis juga menunjukkan contoh jumlah tak terhingga dari barisan geometri. Penulis tunjukkan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... sama dengan -1.
Contoh-ocntoh tersebut merupakan contoh betapa kita harus hati-hati dalam menentukan jumlah tak terhingga dari barisan, baik barisan aritmetik, maupun barisan geometri. Kita harus mengetahui bahwa yang fixed nilanya adalah limit jumlahnya, bukan jumlahnya itu sendiri. Itupun hanya untuk barisan-barisan tertentu, salah satu di antaranya adalah barisan yang bounded.
Penulis sempat menuliskan secara singkat tentang jumlah tak terhingga barisan ini. Tentu tidak sempurna, dan oleh karena itu penulis mengundang teman-teman untuk memberikan komentar, kritik, saran, atau apapun. Untuk itu, penulis mempersilahkan teman-teman mengunduhnya di sini, dan tolong dikaji serta berikan komentar. Semoga bermanfaat.
Salam
Langganan:
Postingan (Atom)
