Salah satu soal dalam OSN Matematika tingkat kabupaten/kota tahun 2012 adalah sebagai berikut:
Jika m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga m^2 + 2m + 3n = 33, maka banyak bilangan n yang memenuhi adalah ....
Pertama kali melihat soal ini, pastilah kita tertegun. Ini soal persamaan kuadrat, tetapi dalam dua variabel (m dan n)... Bagaimana ini menyelesaikannya.
Kesan yang sama pun muncul dalam diri penulis
Tetapi, mungkin karena sudah banyak pengalaman mengerjakan soal-soal olimpiade, penulis kemudian memikirkan soal lain yang kira-kira sejenis. Penyelesaiannya mungkin ya mirip-mirip dengan soal dimana salah satu variabel dinyatakan sebagai variabel yang lain.
Maka penulis pun kemudian mencoba memisahkan variabel m dan n. Variabel m penulis tempatkan di ruas kiri, dan variabel n penulis tempatkan di ruas kanan. Dengan begitu, maka masalah ini kemudian menjadi sebagai berikut.
m^2+2m+1=34-3n atau
[(m+1)]^2=34-3n
Persamaan ini menunjukkan bahwa di ruas kiri adalah bentuk kuadrat.
Karena itu, bentuk [(m+1)]^2=34-3n dapat dibaca: Tentukan bilangan asli n demikian sehingga 34 - 3n merupakan bilangan kuadrat. Tapi penulis bertanya pada diri sendiri: "Apakah bilangan kuadrat ini harus mulai dari 1?"
Penulis pun kembali melihat soalnya
Ternyata, diketahui bahwa m adalah bilangan bulat positif, artinya m minimal bernilai 1
Karena itu (m + 1)^2 ini haruslah minimal bernilai 4.
Karena itu, penulis menyimpulkan bahwa 34 - 3n ini haruslah kuadrat yang lebih dari 1
Lantas, apakah sampai tak terhingga?
Penulis kembali lagi melihat syarat dari n.
Ternyata n adalah bilangan asli
Karena itu, nilai dari 34 - 3n ini tidak boleh lebih dari 31
Jadi, soal ini sebenarnya meminta kita mencari nilai n demikian sehingga 34 - 3n merupakan bilangan kuadrat lebih dari 1 tapi kurang dari 31. Nach... bilangan-bilangan kuadrat yang memenuhi persyaratan itu adalah 4, 9, 16, dan 25.
Karena itu, kita harus mencari n demikian sehingga: 34 - 3n = 4; 34 - 3n = 9; 34 - 3n = 16; dan 34 - 3n = 25
Jadi ada 4 kasus. Maka mari kita periksa satu persatu kasus tersebut.
Untuk kasus 1: 34 - 3n = 4
Persamaan ini hanya akan terjadi jika 3n = 30, atau n = 10
Untuk kasus 2: 34 - 3n = 9
Persamaan ini hanya akan terjadi jika 3n = 25, atau tidak ada bilangan asli n yang membuat ini bernilai benar
Untuk kasus 3: 34 - 3n = 16
Persamaan ini hanya akan terjadi jika 3n = 18, atau n = 6
Untuk kasur 4: 34 - 3n = 25
Persamaan ini hanya akan terjadi jika 3n = 9, atau n = 3
Jadi ada 3 kasus nilai n yang memenuhi
Alhamdulillah... ternyata latihan mengerjakan soal itu penting
W.A. Nugraha
