Ketika kita ditanya berapakah nilai dari S = 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... yaitu jumlah tak terhingga barisan geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 1/2, pada umumnya kita dengan mudahnya menjawab bahwa nilai S = 2. Kita menggunakan rumus S = a / (1 - r). Tetapi, apakah benar demikian?
Untuk membahas masalah ini, penulis memberikan beberapa ilustrasi tentang jumlah barisan tak hingga yang tidak masuk akal. Pertama, penulis ajukan contoh bahwa jumlah tak terhingga dari barisan aritmetik 1 + 1 + 1 + 1 + 1.....adalah -1. Kemudian, penulis juga menunjukkan bahwa 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + .... sama dengan -3. Penulis juga menunjukkan contoh jumlah tak terhingga dari barisan geometri. Penulis tunjukkan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... sama dengan -1.
Contoh-ocntoh tersebut merupakan contoh betapa kita harus hati-hati dalam menentukan jumlah tak terhingga dari barisan, baik barisan aritmetik, maupun barisan geometri. Kita harus mengetahui bahwa yang fixed nilanya adalah limit jumlahnya, bukan jumlahnya itu sendiri. Itupun hanya untuk barisan-barisan tertentu, salah satu di antaranya adalah barisan yang bounded.
Penulis sempat menuliskan secara singkat tentang jumlah tak terhingga barisan ini. Tentu tidak sempurna, dan oleh karena itu penulis mengundang teman-teman untuk memberikan komentar, kritik, saran, atau apapun. Untuk itu, penulis mempersilahkan teman-teman mengunduhnya di sini, dan tolong dikaji serta berikan komentar. Semoga bermanfaat.
Salam
MAHKOTA DEWA
Inilah gambar dari Mahkota Dewa... Tanaman ini dipercaya banyak menyembuhkan penyakit... Nach... Apakah ada di antara teman-teman yang memilik data tentang pertumbuhannya? Adakah model matematika yang bisa kita kembangkan dari data-data itu? ... Kalau pun tidak... apakah mungkin kita bisa belajar matematika daripadanya?
Minggu, 22 Februari 2009
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
4 komentar:
Salam pak Ashari. Nama saya Achmad Nizar. Saya adalah alumni UM tahun 2005 dan sempat mengikuti beberapa perkuliahan pak Ashari.
To the point saja ya pak, saya kok melihat ada kesalahan kalkulasi untuk setiap kasus yang bapak munculkan (kasus 1, 2, & 3). Sebagai ilustrasi saya bahas kasus 1 saja.
Kasus 1.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... (a)
A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
A + S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... (b)
jika (a) dikurangi (b) dengan kata lain nilai S dikurangi nilai (A + S) bukannya malah hasilnya seperti ini:
S - (A+S) = (1-2) + (2-3) + (3-4) + (4-5) + (5-6) + (6-7) + ...
-A = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + ...
A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
sehingga -A = n x (-1) atau A = n x (1), dengan n bilangan asli.
Atau dengan kata lain A yang semula hasilnya tak hingga positif tetaplah menjadi tak hingga positif setelah melalui beberapa operasi matematika tersebut.
Mohon koreksi jika ada kesalahan.
A ha...
Terimakasih Mas Nizar...
Beginilah seharusnya kita berbagi itu
Dalam benak saya (bisa juga beda lho dengan benak orang lain)... yang membedakan ruas kanan dari (a) dan (b)kan hanya 1. Selebihnya bisa saling menghapuskan. Sehingga ruas kanan dari (a) - (b) = 1 saja.
OK... Terimakasih telah mau berbagi
Semua kita adalah manusia ... bisa salah juga kok ...
Pak Ashari, dengan kata lain rumus yang kita kritisi (jumlah tak hingga barisan geometri) memang benar kan pak?
Apa jumlahnya ada? Nggak ada kan?
Posting Komentar